Forum Sains Indonesia

Hobi => Olah Otak => Topik dimulai oleh: jasen pada April 01, 2015, 04:47:01 PM

Judul: quiz matematika dasar
Ditulis oleh: jasen pada April 01, 2015, 04:47:01 PM
quiz matematika dasar

sqrt(x) - Sqrt(x-3) = 3
             sqrt(x) - 3 = Sqrt(x-3)
     (sqrt(x) - 3)^2 = Sqrt(x-3)^2
     x-6.sqrt(x) + 9 = x - 3
             -6.sqrt(x) = -12
                  sqrt(x) = 2
                           x = 4

lalu jawaban saya uji
sqrt(x) - Sqrt(x-3) = 2 - 1 = -1

ternyata -1 =/= 3

dimanakah kesalahan perhitungan saya ?
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: Sandy_dkk pada April 01, 2015, 07:32:23 PM
kesalahannya, karena jasen menganggap akar dari suatu bilangan positif selalu bernilai positif.
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: Emerald_Eyes pada April 01, 2015, 07:35:17 PM
sqrt(x) - Sqrt(x-3) <= sqrt(3) untuk x real dan kurang dari 3.
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: Emerald_Eyes pada April 01, 2015, 07:38:32 PM
koreksi : "lebih besar dari 3".
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: jasen pada April 02, 2015, 09:43:48 AM
Kutip dari: Emerald_Eyes pada April 01, 2015, 07:38:32 PM
koreksi : "lebih besar dari 3".

maksudmu x harus > 3?
dari jawabannya x = 4 seharusnya memenuhi syarat tersebut.

Kutip dari: Sandy_dkk pada April 01, 2015, 07:32:23 PM
kesalahannya, karena jasen menganggap akar dari suatu bilangan positif selalu bernilai positif.

Maksud anda sudah benar, tetapi cara menerangkannya kurang tepat.

ini menunjukan cara yang saya (biasa kita) gunakan untuk menyelesaikan persamaan/pertidak samaan matematika kurang tepat. Saat saya mengkuadratkan kedua sisi (baris 3), maka solusi extra yang salah muncul.

jika a = b, maka a^2 = b^2
namun jika a^2 = b^2 maka belum tentu a = b karena bisa juga a = -b

dari sqrt(x) - Sqrt(x-3) = 3
ada 3 kondisi yang harus dipenuhi :

dari baris 1
sqrt(x) >= 0 => x >= 0
sqrt(x) >= -3 => x >= -3
Sqrt(x-3) >= 0 => x >= 3

dari baris 2
sqrt(x) - 3 >= 0 => x >= 9

maka dari ke 4 kondisi itu, maka x >= 9

dari hasil perhitungan x = 4 dan x >= 9, maka persamaan itu tidak ada solusinya.

karena itu dalam menyelesaikan persamaan matematika, kita perlu memperhatikan kondisinya,
atau menguji kembali hasilnya perhitungan ke soal-nya

Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: mhyworld pada April 02, 2015, 11:17:59 AM
versi sederhana dari pertanyaan di atas :
sqrt(x)=-2
x=4
lalu jawaban diuji
sqrt(4)=2
disimpulkan 2=-2
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: mhyworld pada April 02, 2015, 11:30:02 AM
jika y=sqrt(x) - sqrt(x-3)
dan x bilangan real
maka ada 4 kemungkinan nilai y
1) |sqrt(x)|+|sqrt(x-3)|
2) |sqrt(x)|-|sqrt(x-3)|
3) -|sqrt(x)|+|sqrt(x-3)|
4) -|sqrt(x)|-|sqrt(x-3)|

jika y=3 maka nilai x=4 menjadi solusi untuk kemungkinan pertama di atas.
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: Emerald_Eyes pada April 02, 2015, 02:05:50 PM
Soalnya sudah salah sejak awal
Kutip dari: jasen pada April 02, 2015, 09:43:48 AM
maka persamaan itu tidak ada solusinya.
Benar, tapi kondisinya bukan x >= 9 tapi x >= 3, utk menentukan kondisi ini kondisi baris 1 yg anda tulis sudah cukup, tidak perlu kondisi baris 2. Dan sekali lagi sqrt(x) - Sqrt(x-3) <= sqrt(3)
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: Emerald_Eyes pada April 02, 2015, 02:08:31 PM
Ngomong2 sebenarnya dalam kalkulus seingat saya akar dari sebuah bilangan positive didefinisikan sebagai bilangan positif. Itulah sebabnya range dari kurva y=sqrt(x) selalu positive, saya tidak pernah mendapati kurva sqrt(x) di bawah y=0.
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: jasen pada April 02, 2015, 03:28:27 PM
Kutip dari: Emerald_Eyes pada April 02, 2015, 02:05:50 PM
Soalnya sudah salah sejak awalBenar, tapi kondisinya bukan x >= 9 tapi x >= 3, utk menentukan kondisi ini kondisi baris 1 yg anda tulis sudah cukup, tidak perlu kondisi baris 2. Dan sekali lagi sqrt(x) - Sqrt(x-3) <= sqrt(3)

Setelah saya pelajari lagi ternyata kondisi2 untuk membentuk kondisi melingkar dan itu tidak akan pernah selesai

Perhatikan :

dari akar(x) - akar(x-3) = 3
ada kondisi-kondisi berantai yang harus dipenuhi, yang tak akan pernah selesai.

dari baris 1
1.    akar(x)    >= 0       =>    x >= 0
2.    akar(x-3) >= 0       =>    x >= 3

perhatikan : akar(x) - akar(x-3)  = 3,  dimana akar(x-3) >= 0  (dari kondisi 2),  maka :
                                    akar(x)    >= 3 + 0
3.                                 akar(x)    >= 3, maka :  x >=  9

4.  akar(x-3) >= 0 (kondisi 2) dan x >=9 (kondisi 3)
     maka :                     akar(x-3) >= akar(9-3)
                                     akar(x-3) >= akar(6)
                                           
5. akar(x) - akar(x-3) = 3
                      akar(x) = 3 + akar(x-3)
                      akar(x) >=  3 +  akar(6)   (dari kondisi 4)
                              x  >= 9 + 6.akar(6) + 6
                              x  >= 15 + 6.akar(6)
                           
dan begitu seterusnya.

maka dari ke semua kondisi2 itu, maka x >= ~
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: Emerald_Eyes pada April 02, 2015, 03:34:22 PM
Sdr. Jasen, tidak perlu mencari kondisinya utk baris2 yg lain, baris satu saja sudah cukup. Lagipula permasahan utamanya adalah karena sejak awal persamaan sqrt(x) - Sqrt(x-3) = 3 tidak akan bisa dipenuhi jika x bilangan real. Alasannya ruas kiri persamaan tersebut nilainya tidak akan pernah mencapai 3, tidak percaya? silahkan ketik di google ruas kiri persamaan tersebut dan lihat grafiknya.
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: Sandy_dkk pada April 08, 2015, 10:08:52 PM
ya benar, ruas kiri persamaan tsb tidak pernah mencapai 3.

tapi bagaimana pembuktian matematisnya?
secara matematis, bagaimana caranya membuktikan bahwa sqrt(x) - sqrt(x-3) mustahil mencapai 3 ??
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: Emerald_Eyes pada April 08, 2015, 11:43:45 PM
Dapat dibuktikan dengan cara menghitung turunan pertama ruas kiri sebagai fungsi x. Dapat dibuktikan bahwa turunan fungsi tsb selalu bernilai negatif dalam domain dimana fungsi di ruas kiri terdefinisi. Dg kata lain fungsi tersebut bersifat monotonic decreasing. Sementara domainnya adalah x>=3, dari dua informasi tersebut dapat dipastikan bahwa nilai maks fungsi ini berada di ujung kiri domain, yg tidak lain adalah x=3. Dan nilai maks nya adalah sqrt(3).
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: Sandy_dkk pada April 09, 2015, 08:06:33 AM
Kutip dari: Emerald_Eyes pada April 08, 2015, 11:43:45 PM
Dapat dibuktikan dengan cara menghitung turunan pertama ruas kiri sebagai fungsi x. Dapat dibuktikan bahwa turunan fungsi tsb selalu bernilai negatif dalam domain dimana fungsi di ruas kiri terdefinisi. Dg kata lain fungsi tersebut bersifat monotonic decreasing. Sementara domainnya adalah x>=3, dari dua informasi tersebut dapat dipastikan bahwa nilai maks fungsi ini berada di ujung kiri domain, yg tidak lain adalah x=3. Dan nilai maks nya adalah sqrt(3).

good job! terimakasih...
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: jasen pada April 09, 2015, 10:42:55 AM
Kutip dari: Emerald_Eyes pada April 08, 2015, 11:43:45 PM
Dapat dibuktikan dengan cara menghitung turunan pertama ruas kiri sebagai fungsi x. Dapat dibuktikan bahwa turunan fungsi tsb selalu bernilai negatif dalam domain dimana fungsi di ruas kiri terdefinisi. Dg kata lain fungsi tersebut bersifat monotonic decreasing. Sementara domainnya adalah x>=3, dari dua informasi tersebut dapat dipastikan bahwa nilai maks fungsi ini berada di ujung kiri domain, yg tidak lain adalah x=3. Dan nilai maks nya adalah sqrt(3).


Sdr. Emerald_Eyes, cara anda memang benar,
bahwa jika dibuat persamaan akar(x) - akar(x-3) = y, dan ditanya tentukan domainnya, maka jawabnya :
domain x adalah  x bil Real dan x >= 3
domain y adalah y bil Real dan 0 < y <= akar(3)


Tetapi jika diberikan persamaan akar(x) - akar(x-3) = 3 pada anak SMP yang belum mengerti kalkulus, maka cara penyelesaiannya ialah dengan mencari kondisi2 untuk x. Jika anda berhenti di x > 3, maka jawaban x = 4 terlihat tidak salah. Karena itu harus dicari kondisi2 yang lain.
Judul: Re:quiz matematika dasar
Ditulis oleh: mhyworld pada April 10, 2015, 12:00:34 AM
Kutip dari: Emerald_Eyes pada April 02, 2015, 02:08:31 PM
Ngomong2 sebenarnya dalam kalkulus seingat saya akar dari sebuah bilangan positive didefinisikan sebagai bilangan positif. Itulah sebabnya range dari kurva y=sqrt(x) selalu positive, saya tidak pernah mendapati kurva sqrt(x) di bawah y=0.
Sebaiknya pertanyaan ditulis lengkap agar tidak ambigu.
KutipThe principal square root function f(x) = √x (usually just referred to as the "square root function") is a function that maps the set of non-negative real numbers onto itself.
[pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.]
contoh lain, symbol log bias diartikan sebagai logaritma dengan basis e, namun ada juga yang mengartikannya sebagai logaritma berbasis 10.